Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF=∠ADF。

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）如果FM=CM，求证：EM垂直平分DF．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

（1）根据AD∥BC，可得∠ADE=∠F，由E是AB的中点，可得AB=BE，从而可以证明△ADE≌△BFE；

（2）由△ADE≌△BFE，可得DE=EF，再根据∠MDF=∠ADF，AD∥BC，可以得到∠F=∠MDF ，则MF=MD，然后根据等腰三角形三线合一，可以证明结论成立．

证明：（1）∵E是AB的中点，

∴AE=BE，

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠F，

在△ADE与△BFE中

∠ADF=∠F，∠AED=∠BEF，AE=BE，

∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）∵△ADE≌△BFE，

∴DE=EF，

∵AD∥BC，∠ADF=∠F，∠GDF＝∠ADF，

∴∠F=∠MDF，

∴MF=MD，

∴△MFD为等腰三角形，

∵DE=EF，

∴EM垂直平分DF.