Question

【题目】已知：如图，△AOB的顶点O在直线上，且AO=AB.

(1)画出△AOB关于直线成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；

(2)在(1)画出的图形中，AC与BD的位置关系是 ；

(3)在(1)画出的图形中连接AD，如果∠ABD=2∠ADB.

求证：△AOC是等边三角形，并直接写出∠DAO∶∠DAB的值.

Answer 1

【答案】（1）作图见解析； (2) AC //BD；(3) 证明见解析，∠DAO∶∠DAB =1: 3

【解析】

（1）按照题中描述作图可得；

（2）利用平行线的判定定理，找到平行线间角的关系，可判定出直线的关系；

（3）利用三角形中等角对等边可得到所求角处在等边三角形中，故得出所求∠DAO∶∠DAB的值.

解：（1）如图所示，△COD为所求作.

(2) AC //BD，证明如下：

∵△ABO和△COD对称

∴∠BAO= ∠DCO, ∠ABO=∠CDO， OC=OA, OB=OD，

∴ ∠OCA= ∠OAC, ∠ODB = ∠OBD,

∵四边形的内角和为360°，

∴∠BAO +∠DCO+∠ABO + ∠CDO + ∠OCA+∠OAC + ∠ODB + ∠OBD = 360°，

∴∠CAO+ ∠OAB +∠ABO + ∠OBD = 180°，

∴∠CAB + ∠ABD = 180，

∴AC //BD

(3) ∵△ABO和△COD对称

∴∠ABO=∠CDO，OB=OD

∴∠OBD=∠ODB

∴∠ABO+∠OBD=∠CDO+ODB

∴∠ABD=∠CDB

∵∠ABD=2∠ADB

∴∠CDB=2∠ADB

∵∠CDB=∠ADB+∠ADC

∴2∠ADB=∠ADB+∠ADC

∴∠ADB=∠ADC

∵AC//BD

∴∠ADB=∠CAD

∴∠ADC=∠CAD

∴ CD=AC

∵△ABO和△COD对称且AB=AO ;

∴AB=AO=CO=CD=AC

∴CA=CO= AO

∴△AOC是等边三角形

∴∠CAO=∠ACO=60°

设∠DAO=x，则∠CAD=60°-x

∵CA=CD

∴∠CAD=∠CDA=60°-x

∴∠DCA =60°+2x

∴∠DCO =2x

∵△ABO和△COD对称

∴∠DCO =∠BAO =2x

∴∠DAB=3x

∴∠DAO∶∠DAB =1: 3