Question

【题目】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=AD．

∴∠B=∠DAC=45°

又BE=AF，

∴△BDE≌△ADF（SAS）．

∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．

∴△DEF为等腰直角三角形

（2）解：△DEF为等腰直角三角形．

证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：

连接AD，

∵AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形，

∵∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），

∴∠DAC=∠ABD=45°．

∴∠DAF=∠DBE=135°．

又AF=BE，

∴△DAF≌△DBE（SAS）．

∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．

∴△DEF仍为等腰直角三角形．

【解析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；（2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°﹣45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．