Question

【题目】已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2 ， 其中结论正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如图： ①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∴①正确；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，∴③正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°，
∴∠ACE+∠AFB=90°．
∵∠DFC=∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴BD⊥CE，∴②正确；
④∵BD⊥CE，
∴BE2=BD2+DE2 ，
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴DE2=2AD2 ， BC2=2AB2 ，
∵BC2=BD2+CD2 ，
∴2AB2=BD2+CD2 ，
∴BD2=2AB2﹣CD2 ，
∴BE2=BD2+DE2=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2 ，
∴④正确．
故选D．
①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论；
③由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，进而得出结论；
④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2 ， 由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2 ， BC2=2AB2 ， 就有BC2=BD2+CD2就可以得出结论．