如图.在同一平面内.将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起.A为公共顶点.∠BAC=∠AGF=90°.它们的斜边长为2.若△ABC固定不动.△AFG绕点A旋转.AF.AG与边BC的交点分别为D.E(点D不与点B重合.点E不与点C重合).设BE=m.CD=n．下列结论:(1)图中有三对相似而不全等的三角形,BD2+CE2=DE2,DF=AE．其中正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论：
（1）图中有三对相似而不全等的三角形；（2）m•n=2；（3）BD²+CE²=DE²；（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE．
其中正确的有（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

分析（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；
（2）可根据（1）中的相似三角形BAE和CDA得出关于AB，BE，CD，AC的比例关系，AB，AC可通过等腰直角三角形求出，因此根据比例关系即可得出m，n的函数关系式．
（3）根据旋转角，我们知道HB⊥BD，那么DH²=BH²+BD²，而BH=CE，于是关键是证明HD=DE，连接AH，DH那么可通过证三角形AHD和ADE全等来求解．
（4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，得到∠BAD≠∠CAE，于是△ABD与△ACE不一定全等，
（5）当AF与AB重合时，AE=$\frac{1}{2}$AF，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，得到DF$≠\frac{1}{2}$AF，于是由AE与DF不一定相等；

解答解：（1）∵△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，
∴△DAE∽△DCA，△ABO∽△ABC；
∴图中有三对相似而不全等的三角形；故（1）正确；
（2）∵△ABE∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BA}{CD}$，
由题意可知CA=BA=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{m}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{n}$，
∴m=$\frac{2}{n}$，
∴mn=2；（1＜n＜2）；
故（2）正确；
（3）证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+CE²=DH²，
即BD²+CE²=DE²；
故（3）正确；
（4）若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，
∴∠BAD≠∠CAE，
∴△ABD与△ACE不一定全等，
∴（4）错误；
（5）当AF与AB重合时，
AE=$\frac{1}{2}$AF，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，
∴DF$≠\frac{1}{2}$AF，
∴AE与DF不一定相等；
∴（5）错误．
故选B．

点评本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．根据相似三角形或全等三角形得出线段成比例或相等是解题的关键．

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