Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，分别根据以下条件，说明△OBC是等腰三角形．
（1）两腰上的高BD、CE．
（2）两腰上的中线BD、CE．
（3）两底角的平分线BD、CE．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再根据等角的余角相等得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC；
（2）根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再根据SAS证得△BEC≌△CDB，得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC；
（3）根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB，从而证明OB=OC．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA；
∵BD、CE分别是两腰AB、AC上的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∴∠OBC=∠BCO；
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．
（2）∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA；
∵BD、CE分别是两腰AB、AC上的中线，
∴BE=CD，
在△BEC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠ABC=∠BCA}\\{BC=BC}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CDB（SAS），
∴∠OBC=∠BCO；
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．
（3）∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA；
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，
∴∠OBC=∠BCO；
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形．

点评 此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形两锐角的性质，对各知识点能够熟练运用是解题的关键．