Question

18．如图，△ABC中AD是∠A的平分线，E是AD的中点，EF⊥AD交BC的延长线于F．求证：DF²=CF•BF．

Answer 1

分析 利用垂直平分线的性质得出AF=DF，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案．

解答 证明：连接AF，
∵AD的垂直平分线交BC的延长线于F，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{CF}{AF}$，
∴AF²=CF•BF，
即DF²=CF•BF．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1是解题关键．