Question

16．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB时直角，∠BOC=60°时，∠NOC=30°，∠MOC=75°，∠MON=45°．
（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想：∠MON与α的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β（β为锐角）时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，请写出结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角的平分线的定义即可直接求得∠NOC的度数，首先根据∠AOC=∠AOB+∠BOC以及角的平分线定义求得∠MOC的度数，最后根据∠MON=∠MOC-∠NOC求得；
（2）把（1）中的∠AOB=90°改成α，思路与（1）相同；
（3）解法与（2）完全相同，把∠BOC=60°改成∠BOC=β相同．

解答 解：（1）∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=75°-30°=45°．
故答案是：30°，75°，45°；
（2）∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+60°，OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（a+60°）=$\frac{1}{2}$α+30°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$α+30°-30°=$\frac{1}{2}$a；
（3）∠MON=$\frac{1}{2}$a，理由是：
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
又∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（a+β），
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$（α+β）-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$a．

点评 本题考查了角度的计算，理解角的平分线的定义以及角度的和、差之间的关系，注意每个小题之间的联系是解决本题的关键．