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【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2﹣(2m+1)x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点.
(1)求m的取值范围;
(2)若m取满足条件的最小的整数, ①写出这个二次函数的解析式;
②当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n,求n的值;
③将此二次函数平移,使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x﹣h)2+k,当x<2时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.

【答案】
(1)解:∵二次函数y=mx2﹣(2m+1)x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点,

∴关于x的方程mx2﹣(2m+1)x+m﹣5=0有两个不相等的实数根,

解得:m>﹣ 且m≠0.


(2)解:①∵m>﹣ 且m≠0,m取其内的最小整数,

∴m=1,

∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣4.

②∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ,1>0,

∴当x≤ 时,y随x的增大而减小.

又∵n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n,

,解得:n=﹣2.

③根据平移的性质可知,a=1,

∵当x<2时,y随x的增大而减小,

∴h≥2.

∵平移后的图象经过原点O,

∴0=(0﹣h)2+k,即k=﹣h2

∴k≤﹣4.


【解析】(1.)由抛物线与x轴有两个交点,可得出关于x的方程mx2﹣(2m+1)x+m﹣5=0有两个不相等的实数根,利用根的判别式△>0结合二次项系数非零,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围;(2.)①取(1)中m的最小整数,将其代入二次函数解析式中即可;②找出抛物线的对称轴为x= ,根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时,函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n”,即可得出关于n的一元二次方程以及一元一次不等式,解之即可得出n的值;③根据平移的性质可得出a=1,由二次函数的性质可得出h≥2,再将(0,0)代入二次函数解析式中可得出k=﹣h2 , 进而即可得出k的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用二次函数图象的平移和二次函数的最值,掌握平移步骤:(1)配方 y=a(x-h)2+k,确定顶点(h,k)(2)对x轴左加右减;对y轴上加下减;如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题.

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