Question

【题目】给出如下规定：两个图形和，点为上任一点，点为上任一点，如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离．

在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点．

（1）点的坐标为，则点和射线之间的距离为______，点和射线之间的距离为　　　　．

（2）如果直线和双曲线之间的距离为，那么____；(可在图1中进行研究)

（3）点的坐标为，将射线绕原点逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形．

①请在图2中画出图形，井描述图形的组成部分：(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)

②将射线组成的图形记为图形，抛物线与图形的公共部分记为图形，请直接写出图形和图形之间的距离．

Answer 1

【答案】（1）3，5；（2）-2；（3）①图形见解析；图形M为y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；②

【解析】

（1）只需根据新定义即可解决问题；
（2）过点O作直线y=x的垂线，与双曲线交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，根据新定义可得直线y=x和双曲线之间的距离就是线段OB的长，如何只需求出点B的坐标，运用待定系数法就可求出k的值；
（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，根据新定义可得图形M为y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点；
②设抛物线y=x2-2与射线OG的交点为Q，如图3，图形N上点的坐标可设为（x，x2-2），根据新定义可得图形W与图形N之间的距离为的最小值．可通过求出点Q的坐标得到x2的范围，然后利用二次函数的增减性求出x2+（x2-2）2=（x2-）2+的最小值，就可解决问题．

（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，
点（-3，4）和射线OA之间的距离为，
故答案分别为：3，5；
（2）∵直线y=x和双曲线之间的距离为2，
∴k＜0（否则直线y=x和双曲线相交，它们之间的距离为0）．
过点O作直线y=x的垂线，与双曲线交于点A、B，过点B作BH⊥x轴，如图1，

在Rt△OHB中，∠HOB=∠HBO=45°，OB=2，
则有OH=BH=OB=，
∴点B的坐标为(，），
∴k=span>，
故答案为：-2；
（3）①过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，如图2，

则图形M为：y轴的正半轴、∠GOH的边及其内部所有的点（图2中的阴影部分）；
②图形W与图形N之间的距离为

4

3

．

理由：设抛物线y=x2-2与射线OH的交点为P，与射线OG的交点为Q，如图3，

图形N为抛物线上P、Q之间（含P、Q）的部分，故图形N上点的坐标可设为（x，x2-2），
则图形W与图形N之间的距离为的最小值．
∵E点的坐标为(1，1)

∴直线OE的解析式为：y=x，故直线OG的解析式为：y=-x

联立方程组

解得：或

故点Q的坐标为(1，-1)，从而有0≤x2≤1，
由此可得x2+（x2-2）2=（x2-）2+的最小值为（1-）2+=2，
则图形W与图形N之间的距离为．