Question

【题目】在ABCD中，连接对角线BD，AB＝BD，E为线段AD上一点，AE＝BE，F为射线BE上一点，DE＝BF，连接AF．

（1）如图1，若∠BED＝60°，CD＝2，求EF的长；

（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF＝2DE，求证：DF＝2GF．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见解析

【解析】

（1）先证明△BDE是直角三角形，解直角三角形求出BE，DE即可解决问题；

（2）作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．再证明AH=EH=DE=a，根据FH∥AB，EF=FB，推出即可.

（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝，

∵AB＝BD，

∴BD=

∵EA＝EB，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵∠DEB＝60°，∠DEB＝∠EAB+∠EBA，

∴∠BAD＝∠EBA＝∠ADB＝30°，

∴∠EBD＝90°，

∴BE＝2，DE＝2BE＝4，

∵BF＝DE，

∴BF＝4，

∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2＝2．

（2）证明：作FH∥AB交AE于H．设DE＝BF＝a，则AF＝2a．

∵EA＝EB，BA＝BD，

∴∠EAB＝∠EBA＝∠ADB，

∵BF＝DE，

∴△ABF≌△BDE（SAS），

∴BE＝AF＝2a，

∴EF＝a，EA＝EB＝2a，

∵FH∥AB，EF＝FB，

∴AH＝EH＝a，

∴，

∴DF＝2FG．