Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点(点P不与A，B两点重合)，连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．

(1)求证：△BOQ≌△POQ；

(2)若直径AB的长为12．

①当PE＝　 　时，四边形BOPQ为正方形；

②当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①6，②6．

【解析】

(1)根据切线的性质得∠OBQ＝90°，再根据平行线的性质得∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，加上∠OPA＝∠OAP，则∠POQ＝∠BOQ，于是根据“SAS”可判断△BOQ≌△POQ；

(2)①利用△BOQ≌△POQ得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，由于OB＝OP，所以当∠BOP＝90°，四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，于是PE＝PO＝6；②根据菱形的判定，当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，则OC＝OA＝3，然后利用勾股定理计算出PC，从而得到PE的长．

(1)证明：∵BM切⊙O于点B，

∴OB⊥BQ，

∴∠OBQ＝90°，

∵PA∥OQ，

∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，

而OA＝OP，

∴∠OPA＝∠OAP，

∴∠POQ＝∠BOQ，

在△BOQ和△POQ中

，

∴△BOQ≌△POQ；

(2)解：①∵△BOQ≌△POQ，

∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，

当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，

而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝6；

②∵PE⊥AB，

∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，

∵OC＝OA＝3，

∴PC＝，

∴PE＝2PC＝6．

故答案为6，6．