Question

6．如图，直线L：y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．
（1）点A的坐标：（4，0）；点B的坐标：（0，2）；
（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；
（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；
（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；
（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到$\frac{OG}{NG}$=$\frac{OM}{MN}$，则可求得OG的长，可求得G点坐标．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，
∴A（4，0），B（0，2），
故答案为：（4，0）；（0，2）；
（2）由题题意可知AM=t，
①当点M在y轴右边时，OM=OA-AM=4-t，
∵N（0，4），
∴ON=4，
∴S=$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}$×4×（4-t）=8-2t；
②当点M在y轴左边时，则OM=AM-OA=t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$×4×（t-4）=2t-8；
（3）∵△NOM≌△AOB，
∴MO=OB=2，
∴M（2，0）；
（4）∵OM=2，ON=4，
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△MGN沿MG折叠，
∴∠NMG=∠OMG，
∴$\frac{OG}{NG}$=$\frac{OM}{MN}$，且NG=ON-OG，
∴$\frac{OG}{4-OG}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得OG=$\sqrt{5}$-1，
∴G（0，$\sqrt{5}$-1）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．