【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,BC边上有一点P(不与点B,C重合),I为△APC的内心,若∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,则m+n=_____.
【答案】255.
【解析】
I为△APC的内心,即I为△APC角平分线的交点,利用三角形内角和等于180°及角平分线定义,即可表示出∠AIC,从而得到m,n的值即可.
解:设∠BAP=α,则∠APC=α+30°,
∵∠BAC=90°,
∴∠PCA=60°,∠PAC=90°﹣α,
∵I为△APC的内心,
∴AI、CI分别平分∠PAC,∠PCA,
∴∠IAC=∠PAC,∠ICA=∠PCA,
∴∠AIC=180°﹣(∠IAC+∠ICA)
=180°﹣(∠PAC+∠PCA)
=180°﹣(90°﹣α+60°)
=α+105°
∵0<α<90°,
∴105°<α+105°<150°,即105°<∠AIC<150°,
∴m=105,n=150.
∴m+n=255,
故答案为:255.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点.
(1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在抛物线上是否存在点 D(与点 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点P绕点T(0,t)(t>0)旋转180°得到点Q,那么称线段QP为“拓展带”,点Q为点P的“拓展点”.
(1)当t=3时,点(0,0)的“拓展点”坐标为 ,点(﹣1,1)的“拓展点”坐标为 ;
(2)如果 t>1,当点M(2,1)的“拓展点”N在函数y=﹣的图象上时,求t的值;
(3)当t=1时,点Q为点P(2,0)的“拓展点”,如果抛物线 y=(x﹣m)2﹣1与“拓展带”PQ有交点,求m的取值范围.
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【题目】国庆假期期间,某单位8名领导和320名员工集体外出进行素质拓展活动,准备租用45座大车或30座小车.若租用2辆大车3辆小车共需租车费1700元;若租用3辆大车2辆小车共需租车费1800元
(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元?
(2)若每辆车上至少要有一名领导,每个人均有座位,且总租车费用不超过3100元,求最省钱的租车方案.
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【题目】在等腰中,,直线过点且.是上一点,过作垂足为,过作垂足为,已知.
(1)如图①,在直线上有一点,连接,且,求证:;
(2)如图②,将沿方向平移,分别交于,两点,当时,求的面积;
(3)如图③,设直线从点出发沿方向平移的速度为每秒1个单位,与交于点,同时有一动点从点出发以相同的速度向点运动,过作交于,设运动时间为,当到达点时所有运动停止,问是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,直接写出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,如杨辉三角就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数降幂排列)的系数规律例如,在三角形中第一行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3展开式中的系数.结合对杨辉三角的理解完成以下问题
(1)(a+b)2展开式a2+2ab+b2中每一项的次数都是 次;
(a+b)3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中每一项的次数都是 次;
那么(a+b)n展开式中每一项的次数都是 次.
(2)写出(a+1)4的展开式 .
(3)拓展应用:计算(x+1)5+(x﹣1)6+(x+1)7的结果中,x5项的系数为 .
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