【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,如杨辉三角就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数降幂排列)的系数规律例如,在三角形中第一行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3展开式中的系数.结合对杨辉三角的理解完成以下问题
(1)(a+b)2展开式a2+2ab+b2中每一项的次数都是 次;
(a+b)3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中每一项的次数都是 次;
那么(a+b)n展开式中每一项的次数都是 次.
(2)写出(a+1)4的展开式 .
(3)拓展应用:计算(x+1)5+(x﹣1)6+(x+1)7的结果中,x5项的系数为 .
【答案】(1)2,3,n;(2)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(3)16.
【解析】
(1)观察(a+b)2展开式和(a+b)3展开式中各项,即可得答案,从而推出(a+b)n的展开项;
(2)根据杨辉三角图中可知(a+1)4的展开式的各项系数,即可得解;
(3)(x+1)5中x5项的系数为1;再按杨辉三角,分别求得(x﹣1)6和(x+1)7展开式中x5项的系数,几个系数相加即可得答案.
解:(1)(a+b)2展开式a2+2ab+b2中的项分别为:a2、2ab、b2,它们的次数都是2,
(a+b)3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中的项分别为:a3、3a2b、3ab2、b3,它们的次数都是3,
由此推出(a+b)n展开式的次数都是n,
故答案为:2,3,n;
(2)根据杨辉三角图中可知(a+1)4的展开式的各项系数分别为:1,4,6,4,1则展开式为:(a+1)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,
故答案为:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;
(3)(x+1)5中x5项的系数为1,
按照杨辉三角可知(x﹣1)6=x6+6x5(﹣1)+…+1,(x+1)7=x7+7x6×1+21x5×12+…+1,
∴(x+1)5+(x﹣1)6+(x+1)7的结果中,x5项的系数为:1+6×(﹣1)+21=16
故答案为:16.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,BC边上有一点P(不与点B,C重合),I为△APC的内心,若∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,则m+n=_____.
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【题目】如图,有一块三角形土地,它的底边BC=100米,高AH=80米,某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼,D、G分别在AB、AC的边上,问当这个矩形面积最大时,它的长与宽各是多少米?面积最大为多少平方米?
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【题目】在中,,分别以,为边向外作正方形和正方形.
(1)当时,正方形的周长=_______(用含的代数式表示);
(2)连接.试说明:三角形的面积等于正方形面积的一半.
(3)已知,且点是线段上的动点,点是线段上的动点,当点和点在移动过程中,的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】小明与小亮玩游戏,如图,两组相同的卡片,每组三张,第一组卡片正面分别标有数字1,3,5;第二组卡片正面分别标有数字2,4,6.他们将卡片背面朝上,分组充分洗匀后,从每组卡片中各摸出一张,称为一次游戏.当摸出的两张卡片的正面数字之积小于10,则小明获胜;当摸出的两张卡片的正面数字之积超过10,则小亮获胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C
处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=,BD=2,求OE的长.
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