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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,如杨辉三角就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+bnn为正整数)的展开式(按a的次数降幂排列)的系数规律例如,在三角形中第一行的三个数121,恰好对应(a+b2a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1331,恰好对应着(a+b3a3+3ab+3ab2+b3展开式中的系数.结合对杨辉三角的理解完成以下问题

1)(a+b2展开式a2+2ab+b2中每一项的次数都是   次;

a+b3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中每一项的次数都是   次;

那么(a+bn展开式中每一项的次数都是   次.

2)写出(a+14的展开式   

3)拓展应用:计算(x+15+x16+x+17的结果中,x5项的系数为   

【答案】123n;(2a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4316.

【解析】

1)观察(a+b2展开式和(a+b3展开式中各项,即可得答案,从而推出(a+bn的展开项;

2)根据杨辉三角图中可知(a+14的展开式的各项系数,即可得解;

3)(x+15x5项的系数为1;再按杨辉三角,分别求得(x16和(x+17展开式中x5项的系数,几个系数相加即可得答案.

解:(1)(a+b2展开式a2+2ab+b2中的项分别为:a22abb2,它们的次数都是2

a+b3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中的项分别为:a33a2b3ab2b3,它们的次数都是3

由此推出(a+bn展开式的次数都是n

故答案为:23n

2)根据杨辉三角图中可知(a+14的展开式的各项系数分别为:14641则展开式为:(a+14a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

故答案为:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

3)(x+15x5项的系数为1

按照杨辉三角可知(x16x6+6x5(﹣1+…+1,(x+17x7+7x6×1+21x5×12+…+1

∴(x+15+x16+x+17的结果中,x5项的系数为:1+6×(﹣1+2116

故答案为:16

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