Question

【题目】在等腰中，，直线过点且．是上一点，过作垂足为，过作垂足为，已知．

（1）如图①，在直线上有一点，连接，且，求证：；

（2）如图②，将沿方向平移，分别交于，两点，当时，求的面积；

（3）如图③，设直线从点出发沿方向平移的速度为每秒1个单位，与交于点，同时有一动点从点出发以相同的速度向点运动，过作交于，设运动时间为，当到达点时所有运动停止，问是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5；（3）存在，t的值为1或5或或.

【解析】

（1）根据条件证明△AGE≌△FGB，从而可得结论；

（2）根据得出AP和AQ，再根据可求出AB和AC的长，从而求出△CDP和△BDQ的面积，即可求出△DPQ的面积；

（3）分两段进行讨论：当点P在线段AE上时，DP=DK，当点P在线段ED上时，再分三种情况：DP=DK，PK=PD，KD=KP，分别找出等量关系，表示出线段长度，求解即可.

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠C=∠B=45°，

∵MN∥BC，

∴∠BAG=∠B=45°，

∵∠AGF=∠BGE=90°，

∴∠AFG=45°，∠EAG=∠BFG，∠AGE=∠FGB，AG=FG，

在△AGE和△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB（ASA），

∴BG=GE；

（2）∵MN∥BC，

∴∠MQA=∠NPA=45°，即△APQ为等腰直角三角形，

∵，

∴AP=AQ=2，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴△CED和△DFB是等腰直角三角形，

即CE=DE=AF=3，DF=BF=AE=4，

∴EP=2，QF=1，

∴S△DPQ=S△ABC-S△DPC-S△DBQ-S△APQ

=×AC×AB-×PC×DE-×BQ×DF-2

=×7×7-×5×3-×5×4-2

=5，

∴△DPQ的面积为5；

（3）当点P在线段AE上时，∠PDK为钝角，

若△PDK为等腰三角形，则DP=DK，

此时，PE=4-t，AP= HB=HK =t，

∴DK=BD-BK=-BH=，DP=，

∴DP2= DK2，

即

解得：t=1或7（舍）；

当点P在线段ED上时，K在线段CD上，

若KD=KP，此时∠CDE=45°，则△KDP为等腰直角三角形，

此时有EP+2HF=3，

∵EP=t-4，HF=t-4，

∴t-4+2（t-4）=3，

解得：t=5；

若PK=PD，此时∠CDE=45°，则△KDP为等腰直角三角形，

此时有：HF+EP=3，

∵HF=t-4，EP=t-4，

∴t-4+t-4=3，

解得：t=；

若DK=DP，

∵BK=t，

∴DK=t -，DP=7-t，

∴t -=7-t，

解得：t=；

综上：存在△DPK为等腰三角形，t的值为1或5或或.