Question

【题目】如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，此时，点E坐标为（-，）．

【解析】

（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：

①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．

②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．

③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；

（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．

(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，

∴

解得：.

∴所求抛物线解析式为：y=x22x+3；

(2)∵抛物线解析式为：y=x22x+3，

∴其对称轴为，

∴设P点坐标为(1,a)，当x=0时，y=3，

∴C(0,3),M(1,0)

∴当CP=PM时,(1)2+(3a)2=a2,解得a=，

∴P点坐标为：；

∴当CM=PM时,(1)2+32=a2,解得，

∴P点坐标为：或；

∴当CM=CP时,由勾股定理得：(1)2+32=(1)2+(3a)2，解得a=6，

∴P点坐标为：P4 (1,6).

综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或 或P(1,6)或；

(3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,a22a+3)(3<a<0)

∴EF=a22a+3，BF=a+3，OF=a

∴

∴当a=时,S四边形BOCE最大,且最大值为.

此时,点E坐标为.