Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE为（　　）

• A． 50°
• B． 45°
• C． 65°
• D． 30°

Answer 1

分析 连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OA=OC，再根据等边对等角求出∠OCA=∠OAC，根据翻折的性质可得OF=CF，然后根据等边对等角求出∠COF，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解．

解答 解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=25°，
根据翻折的性质可得OF=CF，
∴∠COF=∠OCF=25°，
∴∠OFC=130°，
∴∠CFE=65°．
故选C．

点评 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．