Question

11．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AC=AF，OA=OD得到∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，加上∠CFA=∠OFD，所以∠OAD+∠CAF=90°，则OA⊥AC，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O切线；
（2）先表示出OD=r，OF=17-r，再在Rt△DOF中利用勾股定理得r²+（17-r）²=13²，然后解方程即可得到r的值．

解答 （1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为弧BE的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=AF，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
而∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O切线；
（2）解：OD=r，OF=17-r，
在Rt△DOF中，r²+（17-r）²=13²，
解得r=5（舍去），r=12；
即⊙O的半径r为12．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理．