Question

1．如图，从?ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：AB•AE+AD•AF=AC²．

Answer 1

分析 作BM⊥AC于点M，于是得到∠AMB=∠AEC=90°，推出△ABM∽△ACE，根据相似三角形的性质得到AB•AE=AM•AC，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，∠BCM=∠CAF，推出△BCM∽△CAF，根据相似三角形的性质得到BC•AF=CM•AC，于是得到AB•AE+BC•AF=AM•AC+CM•AC=AC（AM+CM）=AC²．即可得到结论．

解答 证明：作BM⊥AC于点M，
则∠AMB=∠AEC=90°，
∵∠BAM=∠CAE，
∴△ABM∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AE}$
即AB•AE=AM•AC，
∵?ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BCM=∠CAF，
∴∠CMB=∠AFC，
∴△BCM∽△CAF，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CM}{AF}$，
∴BC•AF=CM•AC，
∴AB•AE+BC•AF=AM•AC+CM•AC=AC（AM+CM）=AC²．
∵AD=BC，
∴AB•AE+AD•AF=AC²．

点评 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键．