Question

已知关于x的方程：kx²-（k-1）x-1=0（k≠0）
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=kx²-（k-1）x-1截x轴所得的线段长为3，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）分k=0与k≠0进行讨论，即可得出结论；
（2）根据抛物线y=kx²-（k-1）x-1截x轴所得的线段长为3，得出

△

|k|

=|

k+1

k

|=3，解出即可．

解答： （1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵△=[-（k-1）]²-4k×（-1）=（k+1）²≥0，
∴无论k为任何实数，方程总有实数根．

（2）解：∵抛物线y=kx²-（k-1）x-1截x轴所得的线段长为3，
∴

△

|k|

=|

k+1

k

|=3，
∴k+1=3k，或k+1=-3k，
解得k=

1

2

或k=-

1

4

．

点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
也考查了抛物线与x轴的交点，抛物线y=ax²+bx+c截x轴所得的线段长为

△

|a|

，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容．