Question

已知△ABC的两条高CD，BE交于点G，外角平分线BF，CF交于点F，

（1）如图1，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，那么∠F等于多少度？如图2，若△ABC是等边三角形，那么∠BGC等于多少度？∠F等于多少度？
（2）如图3，若∠A为锐角且∠A=α°，那么∠BGC等于多少？∠F等于多少？由此以上结论猜想∠BGC与∠F的关系？写出你的结论（不必证明）
（3）如图4，若∠A为钝角，那么∠BGC与∠F的关系是否发生改变，若不变请证明，若改变请写出你的结论并证明．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）若△ABC是直角三角形根据三角形外角的性质，求得∠F=90°-

1

2

∠A，即可求得∠F的值；若△ABC是等边三角形，根据三角形外角的性质，求得∠F=90°-

1

2

∠A=60°根据四边形的内角和等于360°，得出∠DGE=180°-∠A=120°；
（2）根据三角形外角的性质，求得∠F=90°-

1

2

∠A，根据四边形的内角和等于360°，得出∠DGE=180°-∠A，因为∠A=α，即可求得∠BGC，∠F的度数；
（3）若∠A为钝角，那么∠BGC与∠F的关系不会发生改变，可根据三角形外角的性质，求得∠F=90°-

1

2

∠BAC，根据四边形的内角和等于360°，得出∠BGC=180°-DAE=180°-∠BAC，所以∠BGC=2∠F．

解答：解：（1）如图1，∵外角平分线BF，CF交于点F，
∴∠CBF=

1

2

∠MBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠BCF=

1

2

（∠A+∠ABC）
∵∠F=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC）=180°-∠A-

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∵∠A=90°，
∴∠F=45°，
如图2，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°
∵CD，BE是△ABC的两条高，
∴∠DGE=180°-∠A=120°，
∴∠BGC=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBC=∠NCB=120°，
∴外角平分线BF，CF交于点F，
∴∠FBC=∠BCF=60°，
∴∠F=60°，

（2）如图3，∵△ABC的两条高CD，BE交于点G，∠A=α°，
∴∠BGC=∠DGE=180°-α，
∵∠F=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC）=180°-∠A-

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴∠F=90°-

1

2

α，
由此以上结论猜想∠BGC与∠F的关系为：∠BGC=2∠F；

（3）如图4，若∠A为钝角，那么∠BGC与∠F的关系不发生改变，仍是∠BGC=2∠F；
理由：∵△ABC的两条高CD，BE交于点G，
∴∠BGC=180°-DAE=180°-∠BAC，
∵外角平分线BF，CF交于点F，
∴∠CBF=

1

2

∠MBC=

1

2

（∠BAC+∠ACB），∠BCF=

1

2

（∠BAC+∠ABC）
∵∠F=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠BAC+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC）=180°-∠BAC-

1

2

（180°-∠BAC）=90°-

1

2

∠BAC，
∴∠BGC=2∠F；

点评：本题考查了三角形的内角和定理，四边形内角和定理，三角形的外角的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．