Question

【题目】（本题14分）已知，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,将矩形ABCD绕着点D按着顺时针方向旋转得到矩形A/B/C/D，直线DA/、B/C/分别与直线BC相交于点P、Q.

（1）如图1，当矩形A/B/C/D的顶点B/落在射线DC上时，PC的长为_________；

如图2，当矩形A/B/C/D的顶点B/落在射线BC上时，PC的长为_________；

（2）①如图3，当点P位于线段BC上时，求证：DP=PQ.

②在矩形ABCD旋转的过程中（旋转角满足），试求出当时PC的长.

（3）在矩形ABCD旋转的过程中（旋转角满足），以D，B/，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出此时PC的长（或PC的取值范围）；若不能，请简要说明理由.

Answer 1

【答案】 （1）；. ,（2）①证明方法较多.如连结DQ，先证△DCQ≌△DC/Q,再证∠PDQ=∠PQD.等等.②CP=9+ 或 （3）CP=8

【解析】：（1）①根据相似三角形的性质得出边的比值即可； ②由全等三角形的判定和性质得出边的关系，再根据勾股定理得出方程解答即可； （2）①由矩形的性质得出线段相等，再利用全等三角形进行判断，利用其性质证明即可； ②根据全等三角形判定和性质得出线段关系，再利用勾股定理得出方程解答即可；

（3）分几种情况进行分析得出以点D，B′，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形，进而得出CP的值.

解：（1）①∵将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转，得到矩形A′B′C′D′，AB=6，BC=8，

∴△CDP∽△A′DB′

∴CP=,

同理可得，CP=.

（2）①如图所示.

过点Q作QH⊥DA′于H，

则∠QHD=∠HDC′=∠C′=90°，

∴四边形QHDC′为矩形，

∴QH=DC′=DC，

在△DCP和△QHP中，

∵∠QHP=∠DCP=90°×∠QPH=∠DPC×QH=DC，

∴△DCP≌△QHP，

∴DP=PQ.

②当点P在线段BC上时，如图所示，

则DP=BP=x，PC=8-x，

在Rt△PCD中，（8-x）2+62=x2，解得x=，

∴PC=BC-BP=8-=,

∴矩形ABCD旋转（当0°< ≤90°时）过程中.

当BP=BQ时，CP的长是9+ 或.

（3）CP=8.

解法：设矩形DA′B′C′的对角线与直线BC的交点为S.

①当B/在直线BC的右侧时，虽然DP∥B′Q，

但总有DS≥DC>DB′=5，即PQ与B′Q不互相平分，

以D、B′、P、Q为顶点不能构成平行四边形；

②当B/在直线BC上时，B′、P、Q三点在一条直线上，所以，以D、B′、P、Q为顶点不能构成平行四边形；

③当 B′落在线段AD的延长线上时，如图所示，

DP∥B′Q，且DB′∥PQ，所以四边形DB′QP为平行四边形，

此时△PCD≌△DA′B，CP=DA′=8；

④当B′在直线BC与直线AD所夹区域时，虽然DP∥B′Q，但DB′与PQ不平行，

所以，以D、B′、P、Q为顶点不能构成平行四边形；

综上，只有B′落在线段AD的延长线上时，四边形DB/QP为平行四边形，此时CP=8.

“点睛”本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，找出两根三角形的高的关系是本题的关键.