Question

2．如图1，△ABC和△DEF是两块可以完全重合的三角板，∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=∠DEF=30°．在图1所示的状态下，△DEF固定不动，将△ABC沿直线a向左平移．
（1）当△ABC移到图2位置时，连解AF、DC，求证：AF=DC；
（2）若EF=8，在上述平移过程中，试问点C距点E多远时，线段AD被直线a垂直平分？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接AF，CD，由BC=EF，得到BF=CE，证明△ABF≌△DEC，得到AF=DC．
（2）当点C距点E的距离为4时，线段AD被直线a垂直平分，利用直角三角形的性质，进行解答即可．

解答 解：（1）如图2，连接AF，CD，

∵BC=EF，
∴BC-FC=EF-FC，
即BF=CE，
在△ABF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEF}\\{BF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
（2）当点C距点E的距离为4时，线段AD被直线a垂直平分，
证明：如图3，

∵AF=DC，AC=DF，
∴四边形AFDC是平行四边形，
若AD被直线a垂直平分，假设a与AD交于点O，
在Rt△EFD中，∠DEF=30°
∴DF=$\frac{1}{2}$EF=4，
在Rt△FDO中，∠FDO=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$DF=2，
∴OC=2，
∴CE=EF-OF-OC=8-2-2=4．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ABF≌△DEC．