Question

【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：＝.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先由直角三角形的性质可得：△CBA∽△ABD，根据相似三角形的对应边成比例，可得：AB：AC=BD：AD，又由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证得：ED=AC=EC，可得：∠C=∠EDC，则易得：∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，证得：△DBF∽△ADF，则得：BD：AD=DF：AF，则问题得证．

∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

又∵∠ABC＝∠ABD，

∴△CBA∽△ABD，

∴∠C＝∠FAD，＝，∴＝，

又∵E为AC的中点，AD⊥BC，

∴ED＝EC＝AC，

∴∠C＝∠EDC，

又∵∠EDC＝∠FDB，

∴∠FAD＝∠FDB，

∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，

∴＝，

∴＝.