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【题目】如图,已知抛物线yax2bxca≠0)经过A(-10),B30),C0,-3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)设点M是直线l上的一个动点,当点M到点A,点C的距离之和最短时,求点M的坐标;

(3)在抛物线上是否存在点N,使SABN=SABC,若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3;(2) M(1,-2);(3) ,(1-4.

【解析】

1)直接将ABC三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可;

2)由图知:AB点关于抛物线的对称轴对称,连接BC得出M点位置,即为符合条件的M点;

3)根据题意可知OC=3,要使SABN=SABC则三角形ABN的高为4,即N点的纵坐标为±4,设点N的坐标为(x±4),代入函数解析式求解即可得出N点的坐标.

解:(1)将A-10)、B30)、C0-3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:

解得:

故抛物线的解析式:y=x2-2x-3

2)如图所示:连接BC,交直线l于点M,此时点M到点A,点C的距离之和最短,


设直线BC的解析式为:y=kx+d,则

解得:

故直线BC的解析式为:y=x-3
x=-=1
x=1时,y=1-3=-2
M1-2);

3)存在,理由如下:

C0,-3),

OC=3,即三角形ABC的高为3

要使SABN=SABC,则三角形ABN的高为4,即N点的纵坐标为±4

N为(x±4

所以当y=4时,有x2-2x-3=4x2-2x-7=0,解得

y=-4时,有x2-2x-3=-4x2-2x+1=0,解得x=1

所以N点的坐标为,(1-4

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1)求此抛物线的解析式.

2)求点N的坐标.

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