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【题目】如图,小明画了一个锐角,并作出了它的两条高,两高相交于点.小明说图形中共有两对相似三角形,他说的对吗?请你判定一下,如果正确,就其中的一对进行说理.

【答案】见解析

【解析】

由图可知,在直角ADC中有一个小直角△AEP,它们公共角是∠CAD,另外都有一个直角,所以运用两个角对应相等的三角形相似可得AEP∽△ADC,在直角△BCE中有一个小直角BDP,同理得到BDP∽△BEC.又直角△AEP与直角BDP,有一个对顶角相等,且都有一个直角,所以△BDP∽△AEP.

则由三角形相似的传递性可知AEP∽△ADC∽△BDP∽△BEC,则它们两两相似,故有六对.

小明的说法不正确,因为图形中存在着6对相似三角形. 它们分别是:AEP∽△ADC,AEP∽△BDP,AEP∽△BEC,ADC∽△BDP,ADC∽△BEC,

BDP∽△BEC

证明:∵BEACADBC(已知)

∴∠CEP=AEP=90°

又∵∠CAD=PAE(公共角)

AEP∽△ADC(两组角对应相等的两个三角形相似)

同理可得:BDP∽△BEC

在△BDP与△AEP

有∠AEP=BDP=90°

APE=BPD(对顶角相等)

∴△BDP∽△AEP(两组角对应相等的两个三角形相似)

由相似的传递性证得:AEP∽△ADC∽△BDP∽△BEC

故有三角形两两相似六对:

AEP∽△ADC,AEP∽△BDP,AEP∽△BEC,ADC∽△BDP,ADC∽△BEC,

BDP∽△BEC

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