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【题目】如图1,已知正方形的边长为1,点在边上,若,且交正方形外角的平分线于点

1)如图1,若点是边的中点,是边的中点,连接,求证:

2)如图2,若点在线段上滑动(不与点重合).

①在点滑动过程中,是否一定成立?请说明理由;

②在如图所示的直角坐标系中,当点滑动到某处时,点恰好落在直线上,求此时点的坐标.

【答案】(1)证明见解析;(2) AE=EF一定成立,理由见解析;②F点坐标为

【解析】

(1)利用ASA证明AME≌△ECF,可得结论;

(2) ①在AB上截取AM=EC,连接ME,同(1)证明AME≌△ECF,可得AE=EF

②设F (a-2a+6),过FFHx轴于H,作FGCDG,则可用a表示出FGFH,由角平分线的性质得到关于a的方程,求得a的值,即可得出F的坐标.

(1)证明:∵∠BAE+AEB=90°,∠CEF+AEB=90°

∴∠BAE=CEF

ME为中点,

AM=EC=BE=BM

∴∠BME45°

CF平分∠DCB

∴∠AME=ECF=135°

AMEECF中,

∴△AME≌△ECF (ASA)

AE=EF

(2)解:①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立.

证明:如图2中,在AB上截取AM=EC,连接ME

AB=BC

BM=BE

∴△MBE是等腰直角三角形,

∴∠AME=180°-45°=135°

又∵CF是角平分线,

∴∠ECF=90°+45°=135°

∴∠AME=ECF

∵∠BAE+AEB=90°,∠CEF+AEB=90°

∴∠BAE=CEF

AMEECF中,

∴△AME≌△ECF (ASA)

AE=EF

②设F (a-2a+6),过FFHx轴于H,作FGCDG,如图3

FG=CH=a-1FH=-2a+6

CF为角平分线,

FH=FG

a-1=-2a+6

解得

时,

F点坐标为.

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