Question

【题目】如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，在坐标平面内有点P，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式是y=x2﹣3x；（2）D点的坐标为（4，﹣4）；（3）点P的坐标是（）或（）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；
（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．

试题解析：

（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）

∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，

∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（8，8），

得：8=8k1，解得：k1=1

∴直线OB的解析式为y=x，

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，

∴x﹣m=x2﹣3x，

∵抛物线与直线只有一个公共点，

∴△=16﹣2m=0，

解得：m=8，

此时x1=x2=4，y=x2﹣3x=﹣4，

∴D点的坐标为（4，﹣4）

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（6，0），

∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，6），

根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，

设直线A′B的解析式为y=k2x+6，过点（8，8），

∴8k2+6=8，解得：k2= ，

∴直线A′B的解析式是y=，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，

∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，

∴=n2﹣3n， 解得：n1=﹣，n2=8（不合题意，舍去）

∴N点的坐标为（﹣，）．

如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则N1（﹣，-），B1（8，﹣8），

∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴，

∴点P1的坐标为（）．

将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（），

综上所述，点P的坐标是（）或（）．