Question

4．用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用．
甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；
乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”；
丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸．”
你认为谁说的有道理，请证明．
（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为h_a，h_b，h_c）

Answer 1

分析 解：设△ABC的三条边上的对应高分别为h_a，h_b，h_c，一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为x_a，x_b，x_c，由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，进而表示出x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$，同理x_b=$\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，然后将它们作差，与0比较，进而得出x_a，x_b，x_c，的大小关系．

解答 解：设△ABC的三条边上的对应高分别为h_a，h_b，h_c．
由（1）、（2）可得：$\frac{{x}_{a}}{a}$=$\frac{{h}_{a}-{x}_{a}}{{h}_{a}}$，
∴x_a=$\frac{a{h}_{a}}{a+{h}_{a}}$，
同理x_b=$\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$，x_c=$\frac{c{h}_{c}}{c+{h}_{c}}$，
∵x_a-x_b=$\frac{a{h}_{a}}{a{+h}_{a}}$-$\frac{b{h}_{b}}{b+{h}_{b}}$=$\frac{2s}{a+{h}_{a}}$-$\frac{2s}{\;}$b+h_b=2S（$\frac{1}{a+{h}_{a}}$-$\frac{1}{b+{h}_{b}}$），
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_{b}）}$（b+h_b-a-h_a），
=$\frac{2s}{（a+{h}_{a}）（b+{h}_{b}）}$（b-a）（1-$\frac{{h}_{a}}{b}$），
∵a＞b，h_a＜b，
∴（b-a）（1-$\frac{{h}_{a}}{b}$）＜0，
即x_a-x_b＜0，
∴x_a＜x_b，
同理：x_b＜x_c，
∴x_a＜x_b＜x_c．
∴乙同学说的正确．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比的性质是解题的关键．