Question

如图，点B在反比例函数（ x＞0）的图象上，且OB=，AB⊥OA，AB=4OA．
（1）求B点坐标；
（2）将三角形OAB沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F，求线段BF的长度；
（3）在y轴上是否存在点P，使三角形OBP是直角三角形？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由AB=4OA，设OA=b，得到AB=4b，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB²=AB²+OA²，即17=b²+16b²，
解得：b=1，得到AB=4，OA=1，
∴B（1，4）；

（2）如图2，过B作BE⊥y轴，由B（1，4），得到BE=1，OE=4，
∵AB∥y轴，
∴∠FOB=∠ABO，
由折叠得：∠ABO=∠A′BO，
∴∠FOB=∠A′BO，
∴FB=FO，
设EF=x，可得FB=FO=OE-EF=4-x，
在Rt△BEF中，利用勾股定理得：x²=（4-x）²+1，
解得：x=，
则BF=4-=；

（3）存在，如图1所示，
当∠BPO=90°时，P₁（0，4）；
当∠OBP=90°时，
∵∠P₁OB=∠BOP₂，∠BP₁O=∠P₂OB=90°，
∴△OBP₁∽△OP₂B，
∴OB²=OP₁•OP₂，即17=4OP₂，
∴OP₂=，即P₂（0，）；
当∠POB=90°时不存在，
综上，P的坐标为（0，4）或（0，）．
分析：（1）由AB=4OA，设OA=b，可得出AB=4b，在直角三角形AOB中，由OB的长，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出B的坐标；
（2）如图2，过B作BE垂直于x轴，由BA与y轴平行，得到一对内错角相等，再由折叠的性质得到一对角相等，等量代换得到∠OFB=∠OBF，利用等角对等边得到BF=OF，由OE=4，设OF=BF=x，得到EF=4-x，根据BE=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BF的长；
（3）如图1所示，分三种情况考虑：当∠BPO=90°时，根据B的纵坐标求出P₁的坐标；当∠OBP=90°时，由一对直角相等及一对公共角，得到△OBP₁∽△OP₂B，由相似得比例得到OB²=OP₁•OP₂，求出OP₂的长，确定出P₂的坐标；当∠POB=90°时不存在，综上，得到满足题意P的坐标．
点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，坐标与图形性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，利用了方程及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面．