Question

【题目】如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作ABCD．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若OHAH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；

（3）若NHAH，BN，连接MN，求OH和MN的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）OH，MN．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可知AD∥BC，证明OA⊥AD，又因为OA为半径，即可证明结论；
（2）利用锐角三角函数先求出∠OCH=30°，再求出扇形OAC的面积，最后求出△OHC的面积，两部分面积相加即为重叠部分面积；

（3）设⊙O半径OA=r=OC，OH=3-r，在Rt△OHC中，利用勾股定理求出半径r=，推出OH=，再在Rt△ABH和Rt△ACH中利用勾股定理分别求出AB，AC的长，最后证△BMN∽△BCA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出MN的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵∠AHC＝90°，

∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，

又∵OA为半径，

∴AD是⊙O的切线；

（2）如图，连接OC，

∵OHOA，AH＝3，

∴OH＝1，OA＝2，

∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OHOC，

∴∠OCH＝30°，

∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，

∴S扇形OAC，

∵CH，

∴S△OHC1，

∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积＝S扇形OAC+S△OHC；

（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，

在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，

∴（3﹣r）2+12＝r2，

∴r，则OH，

在Rt△ABH中，AH＝3，BH1，则AB，

在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC，

在△BMN和△BCA中，

∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，

∴△BMN∽△BCA，

∴即，

∴MN，

∴OH，MN．