Question

13．已知在△ABC中，内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点P，试说明：∠P=$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 利用角平分线定义可知∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD．再利用外角性质，可得∠ACD=∠A+∠ABC①，∠PCD=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC②，那么可利用∠PCA=∠PCD，可得相等关系．

解答 解：∵CP是∠ACD的角平分线，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD．
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵∠PCD=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠P+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，利用了角平分线定义、三角形外角性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和等知识．