Question

8．如图，把矩形ABCD沿对角线CD折叠，使点C落在C′处，B C′交AD于E，已知AB=3．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）连结AC′、CC′，若△CBC′为等边三角形，试求四边形ABDC′的面积．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知：∠CBD=∠C′BD，由平行线的性质可知∠CBD=∠EDB，从而得到∠C′BD=∠EDB；
（2）∵△C′CB为等腰三角形，可知∠DBC=30°，利用含30°直角三角形的性质求得AC、BD、OC′的长度从而可求得四边形ABDC′的面积．

解答 解：（1）由翻折的性质可知：∠CBD=∠C′BD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB．
∴∠C′BD=∠EDB．
∴BE=DE．
∴△BED为等腰三角形．
（2）如图所示：

∵△C′CB为等腰三角形，
∴∠C′BC=60°，BC=CC′．
又∵∠CBD=∠C′BD，
∴∠DBC=30°．
∴BD=2CD=6．
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}-D{C}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∴CC′=3$\sqrt{3}$．
∴OC′=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∠OCD=90°-60°=30°．
在Rt△ODC中，∠OCD=30°，DC=3，
∴OD=$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$．
∴AC=BD-2OD=6-3=3．
四边形ABDC′的面积=$\frac{1}{2}×（AC′+BD）•OC′$=$\frac{1}{2}×9×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，掌握含30°直角三角形的性质是解题的关键．