Question

抛物线y=ax²+

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2

x+c经过点A（-2，0）和点B（4，-3），第一象限的点C（m，m）在抛物线上，
（1）求抛物线的表达式；
（2）求C的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点D，使得△BCD周长最小．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,轴对称-最短路线问题

专题：计算题

分析：（1）把A点和B点坐标代入y=ax²+

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x+c得到关于a和c的方程组，解方程组求出a和c的值即可得到抛物线解析式y=-

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x²+

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x+3；
（2）把C（m，m）代入y=-

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x²+

1

2

x+3得到-

1

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m²+

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m+3=m，然后解关于m的一元二次方程即可得到C点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=

1

2

，则求出点C（2，2）关于直线x=

1

2

的对轴点E的坐标为（-1，2），连结BE，BE与直线x=-

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相交于D，根据两点之间线段最短得到DC+DB最小，则△BCD周长最小，然后利用待定系数法求出直线BE的解析式，再确定直线BE与直线x=-

1

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的交点坐标即可．

解答：解：（1）把A（-2，0）和点B（4，-3）分别代入y=ax²+

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2

x+c得

4a-1+c=0 16a+2+c=-3

，解得

a=- 1 2 c=3

，
所以抛物线解析式为y=-

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x²+

1

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x+3；
（2）把C（m，m）代入y=-

1

2

x²+

1

2

x+3得-

1

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m²+

1

2

m+3=m，
整理得m²+m-6=0，解得m₁=-3（舍去），m₂=2，
所以C点坐标为（2，2）；
（3）存在．
y=-

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x²+

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2

x+3=-

1

2

（x-

1

2

）²+

25

8

，则抛物线的对称轴为直线x=

1

2

，点C（2，2）关于直线x=

1

2

的对轴点E的坐标为（-1，2），
连接BE，BE与直线x=-

1

2

相交于D，
连接CD，此时△BCD周长最小，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
把B（4，-3）、E（-1，2）代入得

4k+b=-3 -k+b=2

，解得

k=-1 b=1

，
所以直线BE的解析式为y=-x+1，
当x=

1

2

，y=-x+1=

1

2

，
所以D点坐标（

1

2

，

1

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了轴对称-最短路线问题．