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【题目】如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC∶CA4∶3,点P在半圆弧AB上运动(不与AB重合),过CCP的垂线CDPB的延长线于D

(1)求证:AC·CDPC·BC

(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;

(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S

【答案】1)略

2

3

【解析】

解:(1)∵AB为直径,∴∠ACB90°.又∵PC⊥CD∴∠PCD90°

∠CAB∠CPD∴△ABC∽△PCD

∴AC·CDPC·BC

(2)当点P运动到AB弧中点时,过点BBE⊥PC于点E

∵PAB中点,∴∠PCB45°CEBEBC2

∠CAB∠CPB∴tan∠CPBtan∠CAB∴PE

从而PCPEEC.由(1)CDPC

(3)当点PAB上运动时,S△PCDPC·CD.由(1)可知,CDPC

∴S△PCDPC2.故PC最大时,S△PCD取得最大值;

PC为直径时最大,∴S△PCD的最大值S×52

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A.B.C.D.

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