Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O与边BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，BC=12，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）如图，作辅助线，证明AD⊥BC，借助等腰三角形的性质，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，要证明DE与⊙O相切，只要证明OD⊥DE；为此，首先证明OD∥AB，借助DE⊥AB，即可解决问题．
（3）观察图形，可以发现△BDE∽△CAD；因此，首先求出AD的长度，运用相似三角形的判定及其性质，列出关于DE的比例式，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接AD；
∵AC为半圆O的直径，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC；而AB=AC，
∴BD=CD，即点D是BC的中点．
（2）DE与⊙O相切．证明如下：
如图，连接OD；
∵OA=OC，BD=CD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，而OD⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．
（3）由（1）知：BD=CD=6；
由勾股定理得：AD²=18²-6²，
∴AD=12$\sqrt{2}$；而AB=AC，
∴∠B=∠C，而∠BED=∠CDA，
∴△BDE∽△CAD，
∴$\frac{DA}{DE}=\frac{AC}{BD}$，解得：DE=4$\sqrt{2}$．

点评 该题以考查切线的判定为核心，同时还渗透了对三角形的中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点的考查；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是牢固掌握切线的判定方法．