Question

19．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的中点，求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．

解答 证明：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
在△ABC中，F、G分别是AB、BC的中点，
故可得：FG=$\frac{1}{2}$AC，同理EH=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
在四边形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 此题考查了正方形的判定，解题的关键是掌握三角形中位线定理、理解既是矩形又是菱形的四边形是正方形．