Question

4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到F，使EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE为菱形；
（2）若CE=8，∠CFE=60°，求四边形BCFE的面积．

Answer 1

分析 （1）证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC=2DE，由已知条件得出EF=BC，证出四边形BCFE是平行四边形，再由EF=BE，即可得出结论；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性质得出EF=CF，证出△CEF是等边三角形，得出CF=CE=8，由三角函数求出CM，即可得出四边形BCFE的面积．

解答 （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴EF∥BC，
∵BE=2DE，
∴BC=BE，
∵EF=BE，
∴EF=BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵EF=BE，
∴四边形BCFE为菱形；
（2）解：作CM⊥DF于M，如图所示：
由（2）得：四边形BCFE为菱形，
∴EF=CF，
∵∠CFE=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF=CE=8，
∴CM=CF•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴四边形BCFE的面积=EF•CM=8×4$\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△CEF是等边三角形是解决问题（2）的突破口．