Question

【题目】如图，已知反比例函数的图象经过点A（﹣1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为．

（1）求k的值；

（2）若一次函数y＝mx+n图象经过点A和反比例函数图象上另一点，且与x轴交于M点，求AM的值；

（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在另一个反比例函数上，则k'＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）：4或 .

【解析】

（1）根据点A的坐标以及三角形的面积公式即可求出a值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值；

（2）根据反比例函数解析式可求出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AM的解析式，令直线AM的解析式中y＝0求出x值，即可得出点M的坐标，再利用勾股定理即可求出线段AM的长度；

（3）设点N的坐标为（m，n），由等边三角形的性质结合三角函数找出关于m、n的关系来求得点N．

解：（1）∵S△AOB＝OBAB＝，

∴×1×a＝，

∴a＝．

∴点A（﹣1，）．

∵反比例函数y＝的图象经过点A （﹣1，），

∴k＝﹣．

（2）∵C （t，）在反比例函数y＝的图象上，

∴t＝﹣，解得：t＝3，

∴C（3，）．

将A（﹣1，）、C（3，）代入y＝mx+n中，

得：，解得：，

∴直线AM的解析式为y＝x+．

令y＝x+中y＝0，则x＝2，

∴M（2，0）．

在Rt△ABM中，AB＝，BM＝2﹣（﹣1）＝3，

∴AM＝＝2．

（3）设点N的坐标为（m，n），

∵△AMN为等边三角形，且AM＝2．

∴∠AMN＝60°，

∵tan∠AMB＝＝，

∴∠AMB＝30°，

∴∠NMB＝90°，

∴N（2，2），

同法可得：当△AMN′是等边三角形时，可得N′（﹣1，﹣），

∵顶点N在另一个反比例函数y＝上，

∴k′＝4或

故答案为：4或．