Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，过点B作BE⊥AB交AD于点E，将线段BE绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，点M(点M不与点B重合)在直线AB上，连结EM．

(1)当点M在线段AB的延长线上时，将线段EM绕点E顺时针旋转90°到EN1的位置，连结FN1，在图中画出图形，求证：FN1⊥AB；

(2)当点M在线段BA的延长线上时，将线段EM绕点E顺时针旋转90°到EN2的位置，连结FN2，在图中画出图形，点N2在直线FN1上吗？请说明理由；

(3)若AB＝3，AD＝6，DE＝1，设BM＝x，在(1)、(2)的条件下，试用含x的代数式表示△FMN的面积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)点N2在直线FN1上；(3)S1=2x+x2(x＞0)；S2=2x-x2(3<x<4)；S3=x2-2x(x>4).

【解析】

（1）首先证明△EBM1≌△EFN1，再证明四边形BEFG为矩形，因此证明FN1⊥AB.

（2）首先证明△EBM2≌△EFN2，即可得∠EFN2＝90°，再根据∠EFN1+∠EFN2＝180°，即可得点N2在直线FN1上.

（3）根据（1）的四边形BEFG为正方形，即可计算AE，再利用在Rt△ABE中，结合勾股定理计算BE，进而分情况讨论.

(1)证明：如图，∵∠BEF＝∠M1EN1＝90°，

∴∠BEM1＝∠FEN1，

∵DB＝DF，EM1＝EN1

∴△EBM1≌△EFN1，

∴∠EFN1＝∠EBM1，

∵EB⊥AB，

∴∠EBM1＝90°

∴∠EFN1＝90°，

∴四边形BEFG为矩形，

∴∠FGB＝90°

即FN1⊥AB．

(2)如图，跟（1）同理可证△EBM2≌△EFN2，则∠EFN2＝90°，

由于∠EFN1+∠EFN2＝180°，所以点N2在直线FN1上．

(3)由(1)可知四边形BEFG为正方形，

∵AD＝6，DE＝1，

∴AE＝5，

在Rt△ABE中，BE＝ ＝4，

当点M1在线段AB的延长线上时，S1＝x(4+x)=2x+x2，此时x＞0；

当点M2在线段BA的延长线上时，

①当3＜x＜4时，S2＝x(4-x)=2x-x2.

②当x＞4时，S3＝x(x-4)=x2-2x．