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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,过点BBEABAD于点E,将线段BE绕点E顺时针旋转90°EF的位置,点M(M不与点B重合)在直线AB上,连结EM

(1)当点M在线段AB的延长线上时,将线段EM绕点E顺时针旋转90°EN1的位置,连结FN1,在图中画出图形,求证:FN1AB

(2)当点M在线段BA的延长线上时,将线段EM绕点E顺时针旋转90°EN2的位置,连结FN2,在图中画出图形,点N2在直线FN1上吗?请说明理由;

(3)AB3AD6DE1,设BMx,在(1)(2)的条件下,试用含x的代数式表示△FMN的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)N2在直线FN1上;(3)S1=2x+x2(x0)S2=2x-x2(3<x<4)S3=x2-2x(x>4).

【解析】

1)首先证明△EBM1≌△EFN1,再证明四边形BEFG为矩形,因此证明FN1AB.

2)首先证明△EBM2≌△EFN2,即可得∠EFN290°,再根据∠EFN1+EFN2180°,即可得点N2在直线FN1上.

(3)根据(1)的四边形BEFG为正方形,即可计算AE,再利用在RtABE中,结合勾股定理计算BE,进而分情况讨论.

(1)证明:如图,∵∠BEF=∠M1EN190°

∴∠BEM1=∠FEN1

DBDFEM1EN1

∴△EBM1≌△EFN1

∴∠EFN1=∠EBM1

EBAB

∴∠EBM190°

∴∠EFN190°

∴四边形BEFG为矩形,

∴∠FGB90°

FN1AB

(2)如图,跟(1)同理可证△EBM2≌△EFN2,则∠EFN290°

由于∠EFN1+EFN2180°,所以点N2在直线FN1上.

(3)(1)可知四边形BEFG为正方形,

AD6DE1

AE5

RtABE中,BE 4

当点M1在线段AB的延长线上时,S1x(4+x)=2x+x2,此时x0

当点M2在线段BA的延长线上时,

①当3x4时,S2x(4-x)=2x-x2.

②当x4时,S3x(x-4)=x2-2x

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