Question

3．（1）请在图①中作两条直线，使它们将正方形ABCD的面积三等分；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，在图②中过顶点A作两条直线，使它们将矩形ABCD的面积三等分，井说明理由；
问题解决
（3）如图③，农博园有一块不规则的五边形ABCDE空地，其中AB∥CD、AE∥BC，AB=AC=100米，AE=160米，BC=120米，CD=62.5米，根据视觉效果和花期特点，农博园设计部门想在这片空地种上等面积的三种不同的花，要求从入口A点处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便游客赏花，两条小路将这块地面积三等分．请通过计算画图说明其设计部们能否实现，若能实现请确定小路尽头的位置．

Answer 1

分析 （1）分别取BC、CD的三等分点E、F、G、H，作直线AF、AG即可；
（2）分别取BC、CD的三等分点E、F、G、H，作直线AF、AG即可；
（3）作AF⊥BC于F，延长CD交AE于G，由等腰三角形的性质得出BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=60米，由勾股定理求出AF，证明四边形ABCG是平行四边形，求出平行四边形ABCG的面积，进一步求出五边形ABCDE的面积=平行四边形ABCG的面积+S_△DGE，得出三等分图形的面积，再由三角形的面积关系得出点H、M是小路尽头的位置，作出直线即可．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
分别取BC、AD的三等分点E、F、G、H，
作直线EG、FH，
即把正方形ABCD的面积三等分；
如图1所示：
（2）在矩形ABCD中，
分别取BC、CD的三等分点E、F、G、H，
作直线AF、AG，
即把正方形ABCD的面积三等分；
如图2所示；
（3）作AF⊥BC于F，延长CD交AE于G，如图3所示：
∵AB=AC，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=60米
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-6{0}^{2}}$=80（米），
∵AB∥CD、AE∥BC，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴平行四边形ABCG的面积=BC•AF=120×80=9600（平方米），
∴CG=AB=100米，AG=BC=120米，DG=CG-CD=100-62.5=37.5（米），GE=AE-AG=160-120=40（米），
∴$\frac{DG}{CD}$=$\frac{37.5}{62.5}$=$\frac{3}{5}$，
∵AF=80米，
∴根据平行线截得的线段成比例：△DGE的GE边上的高为：30米，
∴S_△DGE=$\frac{1}{2}$×30×40=600（平方米），
五边形ABCDE的面积=平行四边形ABCG的面积+S_△DGE=9600+600=10200（平方米），
则三等分面积为3400平方米，
设在BC边上截取点H，使△ABH的面积为3400平方米，
即$\frac{1}{2}$AF•BH=3400，$\frac{1}{2}$×80BH=3400，
解得：BH=85（米），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×120×80=4800（平方米），
∴S_△ACH=S_△ABC-S_△ABH=4800-3400=1400（平方米），
∵S_△ACD=480×$\frac{5}{8}$=300（平方米），140+200=340（平方米），
∴在CD上取CD的第二个三等分点M，CM=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{125}{3}$（米），
∴直线AH、AM就可把五边形面积三等分，
∴H、M点就是小路尽头的位置．

点评 本题是面积及等积变换综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题有一定难度，特别是（3）中，证明平行四边形进一步求出不规则的五边形ABCDE的面积是解决问题的突破口．