Question

【题目】如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4,12,20这三个数都是“巧数”.

（1）400和2020这两个数是“巧数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？

（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和.

Answer 1

【答案】（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）532．

【解析】

（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；

（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可；

（3）介于50到100之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．

解：（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”．原因如下：

因为，故400不是“巧数”，

因为2020=5062-5042，故2020是“巧数”；

（2）

∵n为正整数，
∴2n－1一定为正整数，
∴4(2n－1)一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；

（3）介于50到100之间的所有“巧数”之和，
S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．
故答案是：532．