Question

【题目】在等腰中，，，点，点分别是轴，轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点.

（1）如图①，当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：；

（2）如图②，当等腰运动到使时，点的横坐标为，.在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，P点的坐标为或或或．

【解析】

（1）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠AGC，从而得到结论；

（2）根据含30°的直角三角形的特点解直角三角形，分别求出OA和AB,然后设P(a,0)分情况讨论即可．

解：（1）证明：如图，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∵D为AC的中点，

∴AD=CD，

∵AC=AB，，

∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵CG⊥AC ，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，

在△ACG和△ABD中，

∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠AGC，
∴∠ADB=∠CDE；

（2）存在，

∵，,

∴,即,

∴在Rt△AOB中根据勾股定理,

即,

解得OA=3，AB=2OA=6,

∴，

设P(a,0),则，

①若AP=BP,则AP2=BP2，即

，解得

∴,

②若AP=AB,则AP2=AB2，即

,解得或（舍去），

∴，

③若AB=AB,则AB2=AB2，即

，

解得或，

∴或，

综上所述P点的坐标为或或或．