Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求线段DP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）15

【解析】

（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论；

（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可证明△ABD∽△DCP，进一步可得出结论；

（3）首先求出BC=10，从而得出OD=5，作CG⊥DP，则可得四边形ODGC是正方形，故可得CG=5，由可求出GP=，从而可得结论.

（1）如图，连接OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=∠BAC=90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP=∠BOD=90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半径，

∴PD是⊙O的切线；

（2）∵PD∥BC，

∴∠ACB=∠P，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠P，

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，

∴∠DCP=∠ABD，

∴△ABD∽△DCP，

∴

∴ABCP=BDCD．

（3）在中，∵，，

∴，

∴，

∴，

过点作，垂足为，则四边形为正方形，

∴，

∵，

∴，

，

∴，即，

解得，，

∴．