Question

【题目】如图，抛物线交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C，已知P（x，y）为线段AC上一点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；

（3）在（2）的条件下，求△AQC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ有最大值=，此时P(2,3)；（3）

【解析】

（1）由于点M和抛物线顶点关于x轴对称，即可得到点N的坐标，进而表示出该抛物线的顶点坐标式函数解析式；

（2）将点A与点M的坐标代入y=kx+b求出k与b的值，确定直线AC的解析式，得到点P坐标为（x，x+1），根据直线AC和抛物线的解析式，即可得到P、Q的纵坐标，从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标；
（3）由于△AQC面积=△AQP面积+△CPQ面积，根据三角形面积公式将PQ的最大值代入计算即可求解．

（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2），

（2）由（1）得：x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；

∵将A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：
解得：
∴直线AC的函数关系式为y=x+1，

解方程组

得x=-1或5，即A（-1，0）、C（5，6）；

∴点P在线段AC之间
设P坐标为（x，x+1），则Q的坐标为
∴PQ=（x+1） - （）=

时

有最大值

此时

（3）