Question

【题目】如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．

（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；

（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）⊙P的半径为；（2）x的取值范围为；（3）BE＝或．

【解析】

（1）由题意BE＝FQ可得∠BPE＝∠FPQ，进而可得∠EBP＝∠FQP.又AD∥BC，故∠ADB＝∠EBP，即∠FQP＝∠ADB，故两角的正切值相等即可求出半径.

（2）要求y关于x的函数关系式即可通过过P点做垂线PM，将QM用含x的式子表示，利用QM＝PQcos∠AQB＝，而FQ=2QM，即；根据题意圆与D点相交时，x最大，可求出x的取值范围；

（3）根据题意四边形EGFP是梯形，由于P点是动点所以产生两种情况，当GF∥EP时和GE∥FP时，故应进行分类讨论.①当GF∥EP时，可发现PE为△BGQ的中点，根据线段关系可求得BP的长度，因为△BGQ和△DGA相似，故有，可求得BG＝，所以BE=BG.②当GE∥FP时，过点P作PN⊥BG ，跟①同理，可求得BE＝2BN.

（1）∵BE＝FQ，

∴∠BPE＝∠FPQ，

∵PE＝PB，

∴∠EBP＝（180°﹣∠EPB），

同理∠FQP＝（180°﹣∠FPQ），

∴∠EBP＝∠FQP，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠EBP，

∴∠FQP＝∠ADB，

∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝，

设⊙P的半径为r，则tan∠FQP＝，

∴，

解得：r＝，

∴⊙P的半径为；

（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：

在Rt△ABQ中，cos∠AQB＝，

在Rt△PQM中，QM＝PQcos∠AQB＝，

∵PM⊥FQ，PF＝PQ，

∴FQ＝2QM＝，

∴，

当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：

则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，

则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，

在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，

解得：x＝，

∴x的取值范围为：0＜x≤；

（3）设BP＝x，分两种情况：

①EP∥AQ时，

∴∠BEP＝∠BGQ，

∵PB＝PE，

∴∠PBE＝∠BEP，

∴∠BGQ＝∠PBE，

∴QG＝QB＝2x，

同理：AG＝AD＝3，

在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，

解得：x＝，

∴QG＝QB＝2x＝，

∵EP∥AQ，PB＝PQ，

∴BE＝EG，

∵AD∥BC，

∴，

即，

解得：BG＝，

∴BE＝BG＝；

②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，

解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），

∴BQ＝2，

∴BP＝1，

作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：

∵AD∥BC，

∴∠PBN＝∠ADB，

∴cos∠PBN＝cos∠ADB＝，即＝，

∴BN＝，

∴BE＝2BN＝；

综上所述，BE=或．