Question

13．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，点A在点B的正东方向，AB=4km，有一艘小船在点P处，从点A 测得小船在北偏西60°方向，从点B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求小船到海岸线l的距离；
（2）小船从点P沿射线AP方向航行一段时间后，到C处，此时，从点B测得小船在北偏西15°的方向，求此时小船到观测点B的距离．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=$\frac{1}{2}$AB=2km，再解Rt△BCF，得出BC=$\sqrt{2}$BF=2$\sqrt{2}$km．

解答 解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$PD=$\sqrt{3}$xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+$\sqrt{3}$x=4，
x=2（$\sqrt{3}$-1），
∴点P到海岸线l的距离为2（$\sqrt{3}$-1）km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=2km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=$\sqrt{2}$BF=2$\sqrt{2}$km，
∴点C与点B之间的距离为2$\sqrt{2}$km．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．