【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点M,BE丄CD于点E.
(1)求证:∠BME=∠MAB;
(2)求证:BM2=BEAB;
(3)若BE=,sin∠BAM=,求线段AM的长.
【答案】(1)见解析;(2)8
【解析】
试题
(1)如图,连接OM,由CD切⊙O于点M证得∠BME和∠OMB互余;由AB是⊙O直径证得∠AMO和∠OMB互余;从而可得∠BME=∠AMO,再证∠AMO=∠BAM即可得到结论;
(2)首先证∠BEM=∠BMA=90°,结合(1)中所得∠BME=∠BAM可证得△BEM∽△BMA,由此可得BE:BM=BM:AB,即BM2=BE·AB;
(3)由∠BME=∠BAM和sin∠BAM=,可得sin∠BME=,从而在Rt△BME中,可得BM=BE=6;然后在Rt△ABM中,由sin∠BAM=,可得AB=BM=10,最后在Rt△ABM中由勾股定理可求得AM的长.
试题解析:
(1)如图,连接OM.
∵直线CD切⊙O于点M,
∴∠OMD=90°
∴∠BME+∠OMB=90°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AMB=90°.
∴∠AMO+∠OMB=90°.
∴∠BME=∠AMO.
∵OA=OM,
∴∠MAB=∠AMO.
∴∠BMA=∠MAB.
(2)由(1)知∠BME=∠MAB.
∵BECD,
∴∠BEM=∠AMB=90°.
∴△BME∽△BAM.
∴ ,
∴BM2=BE·AB.
(3)由(1)知∠BME=∠MAB.
∵sin∠BAM=,
∴sin∠BME=.
在Rt△BEM中,BE=,
∴sin∠BAM==,
∴BM=BE=6.
在Rt△ABM中, sin∠BAM=,
∴sin∠BAM==,
∴AB=BM=10.
在Rt△ABM中,根据勾股定理,得AM=.
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【题目】如图所示,某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪,检测点设在距离公路10m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.已知∠B=30°,∠C=45°
(1)求B,C之间的距离;(保留根号)
(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:,)
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【题目】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是
A. 连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B. 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C. 大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
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【题目】在一个不透明的盒子里,装有三个分别写有数字6,-2,7的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同,先从盒子里随机取出一个小球,记下数字后放回盒子,摇匀后再随机取出一个小球,记下数字.请你用画树状图的方法,求下列事件的概率:
(1)两次取出小球上的数字相同;
(2)两次取出小球上的数字之和大于10.
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【题目】阅读探索:“任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?”(完成下列空格)
(1)当已知矩形A的边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的:
设所求矩形的两边分别是x和y,由题意得方程组:,消去y化简得:2x2﹣7x+6=0,
∵△=49﹣48>0,
∴x1=_____,x2=_______,
∴满足要求的矩形B存在.
(2)如果已知矩形A的边长分别为2和1,请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
(3)如果矩形A的边长为m和n,请你研究满足什么条件时,矩形B存在?
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【题目】已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为
A. 1或 B. -或 C. D. 1
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【题目】已知为坐标原点,抛物线与轴相交于点.与轴交于点,点,在直线上.
(1)当随着的增大而增大时,求自变量的取值范围;
(2)将抛物线向左平移个单位,记平移后随着的增大而增大的部分为,直线向下平移个单位,当平移后的直线与有公共点时,求的最小值.
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【题目】已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=2时,求⊙O的半径;
(2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明.
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【题目】某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫,在试销过程中发现:每月销售量y(件)与销售单价x(x为正整数)(元)之间符合一次函数关系,当销售单价为55元时,月销售量为140件;当销售单价
为70元时,月销售量为80件.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果每销售一件衬衫需支出各种费用1元,设服装店每月销售该种衬衫获利为w元,求w与x之间的函数关系式,并求出销售单价定为多少元时,商场获利最大,最大利润是多少元?
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