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【题目】如图,AB⊙O的直径,直线CD切⊙O于点M,BECD于点E.

(1)求证:∠BME=∠MAB;

(2)求证:BM2=BEAB;

(3)若BE=,sin∠BAM=,求线段AM的长.

【答案】(1)见解析;(2)8

【解析】

试题

(1)如图,连接OM,由CD⊙O于点M证得∠BME和∠OMB互余;由AB⊙O直径证得∠AMO和∠OMB互余;从而可得∠BME=∠AMO,再证∠AMO=∠BAM即可得到结论;

(2)首先证∠BEM=∠BMA=90°,结合(1)中所得∠BME=∠BAM可证得△BEM∽△BMA,由此可得BE:BM=BM:AB,即BM2=BE·AB;

(3)由∠BME=∠BAMsin∠BAM=可得sin∠BME=从而在Rt△BME中,可得BM=BE=6;然后在Rt△ABM中,由sin∠BAM=,可得AB=BM=10,最后在Rt△ABM中由勾股定理可求得AM的长.

试题解析

(1)如图,连接OM.

直线CD⊙O于点M,

∴∠OMD=90°

∴∠BME+∠OMB=90°.

∵AB⊙O的直径,

∴∠AMB=90°.

∴∠AMO+∠OMB=90°.

∴∠BME=∠AMO.

∵OA=OM,

∴∠MAB=∠AMO.

∴∠BMA=∠MAB.

(2)由(1)知∠BME=∠MAB.

∵BECD,

∴∠BEM=∠AMB=90°.

∴△BME∽△BAM.

∴BM2=BE·AB.

(3)由(1)知∠BME=∠MAB.

sinBAM=,

sinBME=.

RtBEM,BE=

sinBAM==,

BM=BE=6.

RtABM, sinBAM=

sinBAM==,

∴AB=BM=10.

Rt△ABM中,根据勾股定理,得AM=.

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