Question

如图所示，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AF于点F，求证：AE=2BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长线段BF与AC的延长线交于点M．根据角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，由AAS证明△ACE≌△BCM，再根据全等三角形的性质即可求解．

解答：解：延长线段BF与AC的延长线交于点M．
∵AF为∠BAC的平分线，BF⊥AF，
∴AM=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠AEC=90°-∠CAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠M=∠AEC=67.5°，
在△ACE与△BCM中，

∠M=∠AEC ∠ACE=∠BCM AC=BC

，
∴△ACE≌△BCM（AAS），
∴AE=BM=2BF．

点评：此题考查学生灵活运用全等三角形的判定与性质解决数学问题，是一道综合题．关键是作出辅助线构造全等三角形．